Algèbre linéaire Exemples

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 3 \end{array}]$

Étape 1

Définissez la formule pour déterminer l’équation caractéristique $p (λ)$ .

$p (λ) = déterminant (A - λ I_{4})$

Étape 2

La matrice d’identité ou matrice d’unité de taille $4$ est la matrice carrée $4 \times 4$ avec les uns sur la diagonale principale et les zéros ailleurs.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Étape 3

Remplacez les valeurs connues dans $p (λ) = déterminant (A - λ I_{4})$ .

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Étape 3.1

Remplacez $A$ par $[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 3 \end{array}]$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 3 \end{array}] - λ I_{4})$

Étape 3.2

Remplacez $I_{4}$ par $[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 3 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.1

Multipliez $- λ$ par chaque élément de la matrice.

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2

Simplifiez chaque élément dans la matrice.

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Étape 4.1.2.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.2

Multipliez $- λ \cdot 0$ .

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Étape 4.1.2.2.1

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.2.2

Multipliez $0$ par $λ$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.3

Multipliez $- λ \cdot 0$ .

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Étape 4.1.2.3.1

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.3.2

Multipliez $0$ par $λ$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.4

Multipliez $- λ \cdot 0$ .

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Étape 4.1.2.4.1

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.4.2

Multipliez $0$ par $λ$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.5

Multipliez $- λ \cdot 0$ .

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Étape 4.1.2.5.1

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.5.2

Multipliez $0$ par $λ$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.6

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.7

Multipliez $- λ \cdot 0$ .

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Étape 4.1.2.7.1

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.7.2

Multipliez $0$ par $λ$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.8

Multipliez $- λ \cdot 0$ .

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Étape 4.1.2.8.1

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.8.2

Multipliez $0$ par $λ$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.9

Multipliez $- λ \cdot 0$ .

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Étape 4.1.2.9.1

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.9.2

Multipliez $0$ par $λ$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.10

Multipliez $- λ \cdot 0$ .

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Étape 4.1.2.10.1

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 λ & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.10.2

Multipliez $0$ par $λ$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.11

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.12

Multipliez $- λ \cdot 0$ .

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Étape 4.1.2.12.1

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.12.2

Multipliez $0$ par $λ$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.13

Multipliez $- λ \cdot 0$ .

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Étape 4.1.2.13.1

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.13.2

Multipliez $0$ par $λ$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.14

Multipliez $- λ \cdot 0$ .

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Étape 4.1.2.14.1

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.14.2

Multipliez $0$ par $λ$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.15

Multipliez $- λ \cdot 0$ .

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Étape 4.1.2.15.1

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.15.2

Multipliez $0$ par $λ$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.16

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - λ \end{array}])$

Étape 4.2

Additionnez les éléments correspondants.

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} 1 - λ & 0 + 0 & 0 + 0 & 1 + 0 \\ 0 + 0 & 1 - λ & 1 + 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 1 + 0 & 1 - λ & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 3 - λ \end{array}]$

Étape 4.3

Simplify each element.

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Étape 4.3.1

Additionnez $0$ et $0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} 1 - λ & 0 & 0 + 0 & 1 + 0 \\ 0 + 0 & 1 - λ & 1 + 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 1 + 0 & 1 - λ & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 3 - λ \end{array}]$

Étape 4.3.2

Additionnez $0$ et $0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} 1 - λ & 0 & 0 & 1 + 0 \\ 0 + 0 & 1 - λ & 1 + 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 1 + 0 & 1 - λ & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 3 - λ \end{array}]$

Étape 4.3.3

Additionnez $1$ et $0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} 1 - λ & 0 & 0 & 1 \\ 0 + 0 & 1 - λ & 1 + 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 1 + 0 & 1 - λ & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 3 - λ \end{array}]$

Étape 4.3.4

Additionnez $0$ et $0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} 1 - λ & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 - λ & 1 + 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 1 + 0 & 1 - λ & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 3 - λ \end{array}]$

Étape 4.3.5

Additionnez $1$ et $0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} 1 - λ & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 - λ & 1 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 1 + 0 & 1 - λ & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 3 - λ \end{array}]$

Étape 4.3.6

Additionnez $0$ et $0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} 1 - λ & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 - λ & 1 & 0 \\ 0 + 0 & 1 + 0 & 1 - λ & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 3 - λ \end{array}]$

Étape 4.3.7

Additionnez $0$ et $0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} 1 - λ & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 - λ & 1 & 0 \\ 0 & 1 + 0 & 1 - λ & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 3 - λ \end{array}]$

Étape 4.3.8

Additionnez $1$ et $0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} 1 - λ & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 - λ & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 - λ & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 3 - λ \end{array}]$

Étape 4.3.9

Additionnez $0$ et $0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} 1 - λ & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 - λ & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 - λ & 0 \\ 1 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 3 - λ \end{array}]$

Étape 4.3.10

Additionnez $1$ et $0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} 1 - λ & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 - λ & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 - λ & 0 \\ 1 & 0 + 0 & 0 + 0 & 3 - λ \end{array}]$

Étape 4.3.11

Additionnez $0$ et $0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} 1 - λ & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 - λ & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 - λ & 0 \\ 1 & 0 & 0 + 0 & 3 - λ \end{array}]$

Étape 4.3.12

Additionnez $0$ et $0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} 1 - λ & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 - λ & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 - λ & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 3 - λ \end{array}]$

Étape 5

Find the determinant.

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Étape 5.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

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Étape 5.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + & - \\ - & + & - & + \\ + & - & + & - \\ - & + & - & + \end{array} |$

Étape 5.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Étape 5.1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 - λ & 1 & 0 \\ 1 & 1 - λ & 0 \\ 0 & 0 & 3 - λ \end{array} |$

Étape 5.1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$(1 - λ) | \begin{array}{c} 1 - λ & 1 & 0 \\ 1 & 1 - λ & 0 \\ 0 & 0 & 3 - λ \end{array} |$

Étape 5.1.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 - λ & 0 \\ 1 & 0 & 3 - λ \end{array} |$

Étape 5.1.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 - λ & 0 \\ 1 & 0 & 3 - λ \end{array} |$

Étape 5.1.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 3 - λ \end{array} |$

Étape 5.1.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 3 - λ \end{array} |$

Étape 5.1.9

The minor for $a_{14}$ is the determinant with row $1$ and column $4$ deleted.

$| \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 0 & 1 & 1 - λ \\ 1 & 0 & 0 \end{array} |$

Étape 5.1.10

Multiply element $a_{14}$ by its cofactor.

$- 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 0 & 1 & 1 - λ \\ 1 & 0 & 0 \end{array} |$

Étape 5.1.11

Add the terms together.

$p (λ) = (1 - λ) | \begin{array}{c} 1 - λ & 1 & 0 \\ 1 & 1 - λ & 0 \\ 0 & 0 & 3 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 - λ & 0 \\ 1 & 0 & 3 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 3 - λ \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 0 & 1 & 1 - λ \\ 1 & 0 & 0 \end{array} |$

Étape 5.2

Multipliez $0$ par $| \begin{array}{c} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 - λ & 0 \\ 1 & 0 & 3 - λ \end{array} |$ .

$p (λ) = (1 - λ) | \begin{array}{c} 1 - λ & 1 & 0 \\ 1 & 1 - λ & 0 \\ 0 & 0 & 3 - λ \end{array} | + 0 + 0 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 3 - λ \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 0 & 1 & 1 - λ \\ 1 & 0 & 0 \end{array} |$

Étape 5.3

Multipliez $0$ par $| \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 3 - λ \end{array} |$ .

$p (λ) = (1 - λ) | \begin{array}{c} 1 - λ & 1 & 0 \\ 1 & 1 - λ & 0 \\ 0 & 0 & 3 - λ \end{array} | + 0 + 0 - 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 0 & 1 & 1 - λ \\ 1 & 0 & 0 \end{array} |$

Étape 5.4

Évaluez $| \begin{array}{c} 1 - λ & 1 & 0 \\ 1 & 1 - λ & 0 \\ 0 & 0 & 3 - λ \end{array} |$ .

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Étape 5.4.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $3$ by its cofactor and add.

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Étape 5.4.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Étape 5.4.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Étape 5.4.1.3

The minor for $a_{31}$ is the determinant with row $3$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & 0 \\ 1 - λ & 0 \end{array} |$

Étape 5.4.1.4

Multiply element $a_{31}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 1 & 0 \\ 1 - λ & 0 \end{array} |$

Étape 5.4.1.5

The minor for $a_{32}$ is the determinant with row $3$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 - λ & 0 \\ 1 & 0 \end{array} |$

Étape 5.4.1.6

Multiply element $a_{32}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 1 - λ & 0 \\ 1 & 0 \end{array} |$

Étape 5.4.1.7

The minor for $a_{33}$ is the determinant with row $3$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 - λ \end{array} |$

Étape 5.4.1.8

Multiply element $a_{33}$ by its cofactor.

$(3 - λ) | \begin{array}{c} 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 - λ \end{array} |$

Étape 5.4.1.9

Add the terms together.

$p (λ) = (1 - λ) (0 | \begin{array}{c} 1 & 0 \\ 1 - λ & 0 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 1 - λ & 0 \\ 1 & 0 \end{array} | + (3 - λ) | \begin{array}{c} 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 - λ \end{array} |) + 0 + 0 - 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 0 & 1 & 1 - λ \\ 1 & 0 & 0 \end{array} |$

Étape 5.4.2

Multipliez $0$ par $| \begin{array}{c} 1 & 0 \\ 1 - λ & 0 \end{array} |$ .

$p (λ) = (1 - λ) (0 + 0 | \begin{array}{c} 1 - λ & 0 \\ 1 & 0 \end{array} | + (3 - λ) | \begin{array}{c} 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 - λ \end{array} |) + 0 + 0 - 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 0 & 1 & 1 - λ \\ 1 & 0 & 0 \end{array} |$

Étape 5.4.3

Multipliez $0$ par $| \begin{array}{c} 1 - λ & 0 \\ 1 & 0 \end{array} |$ .

$p (λ) = (1 - λ) (0 + 0 + (3 - λ) | \begin{array}{c} 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 - λ \end{array} |) + 0 + 0 - 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 0 & 1 & 1 - λ \\ 1 & 0 & 0 \end{array} |$

Étape 5.4.4

Évaluez $| \begin{array}{c} 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 - λ \end{array} |$ .

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Étape 5.4.4.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (1 - λ) (0 + 0 + (3 - λ) ((1 - λ) (1 - λ) - 1 \cdot 1)) + 0 + 0 - 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 0 & 1 & 1 - λ \\ 1 & 0 & 0 \end{array} |$

Étape 5.4.4.2

Simplifiez le déterminant.

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Étape 5.4.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.4.4.2.1.1

Développez $(1 - λ) (1 - λ)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 5.4.4.2.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$p (λ) = (1 - λ) (0 + 0 + (3 - λ) (1 (1 - λ) - λ (1 - λ) - 1 \cdot 1)) + 0 + 0 - 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 0 & 1 & 1 - λ \\ 1 & 0 & 0 \end{array} |$

Étape 5.4.4.2.1.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$p (λ) = (1 - λ) (0 + 0 + (3 - λ) (1 \cdot 1 + 1 (- λ) - λ (1 - λ) - 1 \cdot 1)) + 0 + 0 - 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 0 & 1 & 1 - λ \\ 1 & 0 & 0 \end{array} |$

Étape 5.4.4.2.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$p (λ) = (1 - λ) (0 + 0 + (3 - λ) (1 \cdot 1 + 1 (- λ) - λ \cdot 1 - λ (- λ) - 1 \cdot 1)) + 0 + 0 - 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 0 & 1 & 1 - λ \\ 1 & 0 & 0 \end{array} |$

Étape 5.4.4.2.1.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 5.4.4.2.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.4.4.2.1.2.1.1

Multipliez $1$ par $1$ .

$p (λ) = (1 - λ) (0 + 0 + (3 - λ) (1 + 1 (- λ) - λ \cdot 1 - λ (- λ) - 1 \cdot 1)) + 0 + 0 - 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 0 & 1 & 1 - λ \\ 1 & 0 & 0 \end{array} |$

Étape 5.4.4.2.1.2.1.2

Multipliez $- λ$ par $1$ .

$p (λ) = (1 - λ) (0 + 0 + (3 - λ) (1 - λ - λ \cdot 1 - λ (- λ) - 1 \cdot 1)) + 0 + 0 - 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 0 & 1 & 1 - λ \\ 1 & 0 & 0 \end{array} |$

Étape 5.4.4.2.1.2.1.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$p (λ) = (1 - λ) (0 + 0 + (3 - λ) (1 - λ - λ - λ (- λ) - 1 \cdot 1)) + 0 + 0 - 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 0 & 1 & 1 - λ \\ 1 & 0 & 0 \end{array} |$

Étape 5.4.4.2.1.2.1.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$p (λ) = (1 - λ) (0 + 0 + (3 - λ) (1 - λ - λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - 1 \cdot 1)) + 0 + 0 - 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 0 & 1 & 1 - λ \\ 1 & 0 & 0 \end{array} |$

Étape 5.4.4.2.1.2.1.5

Multipliez $λ$ par $λ$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.4.4.2.1.2.1.5.1

Déplacez $λ$ .

$p (λ) = (1 - λ) (0 + 0 + (3 - λ) (1 - λ - λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - 1 \cdot 1)) + 0 + 0 - 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 0 & 1 & 1 - λ \\ 1 & 0 & 0 \end{array} |$

Étape 5.4.4.2.1.2.1.5.2

Multipliez $λ$ par $λ$ .

$p (λ) = (1 - λ) (0 + 0 + (3 - λ) (1 - λ - λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 1 \cdot 1)) + 0 + 0 - 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 0 & 1 & 1 - λ \\ 1 & 0 & 0 \end{array} |$

Étape 5.4.4.2.1.2.1.6

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$p (λ) = (1 - λ) (0 + 0 + (3 - λ) (1 - λ - λ + 1 λ^{2} - 1 \cdot 1)) + 0 + 0 - 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 0 & 1 & 1 - λ \\ 1 & 0 & 0 \end{array} |$

Étape 5.4.4.2.1.2.1.7

Multipliez $λ^{2}$ par $1$ .

$p (λ) = (1 - λ) (0 + 0 + (3 - λ) (1 - λ - λ + λ^{2} - 1 \cdot 1)) + 0 + 0 - 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 0 & 1 & 1 - λ \\ 1 & 0 & 0 \end{array} |$

Étape 5.4.4.2.1.2.2

Soustrayez $λ$ de $- λ$ .

$p (λ) = (1 - λ) (0 + 0 + (3 - λ) (1 - 2 λ + λ^{2} - 1 \cdot 1)) + 0 + 0 - 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 0 & 1 & 1 - λ \\ 1 & 0 & 0 \end{array} |$

Étape 5.4.4.2.1.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$p (λ) = (1 - λ) (0 + 0 + (3 - λ) (1 - 2 λ + λ^{2} - 1)) + 0 + 0 - 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 0 & 1 & 1 - λ \\ 1 & 0 & 0 \end{array} |$

Étape 5.4.4.2.2

Associez les termes opposés dans $1 - 2 λ + λ^{2} - 1$ .

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Étape 5.4.4.2.2.1

Soustrayez $1$ de $1$ .

$p (λ) = (1 - λ) (0 + 0 + (3 - λ) (- 2 λ + λ^{2} + 0)) + 0 + 0 - 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 0 & 1 & 1 - λ \\ 1 & 0 & 0 \end{array} |$

Étape 5.4.4.2.2.2

Additionnez $- 2 λ + λ^{2}$ et $0$ .

$p (λ) = (1 - λ) (0 + 0 + (3 - λ) (- 2 λ + λ^{2})) + 0 + 0 - 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 0 & 1 & 1 - λ \\ 1 & 0 & 0 \end{array} |$

Étape 5.4.4.2.3

Remettez dans l’ordre $- 2 λ$ et $λ^{2}$ .

$p (λ) = (1 - λ) (0 + 0 + (3 - λ) (λ^{2} - 2 λ)) + 0 + 0 - 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 0 & 1 & 1 - λ \\ 1 & 0 & 0 \end{array} |$

Étape 5.4.5

Simplifiez le déterminant.

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Étape 5.4.5.1

Associez les termes opposés dans $0 + 0 + (3 - λ) (λ^{2} - 2 λ)$ .

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Étape 5.4.5.1.1

Additionnez $0$ et $0$ .

$p (λ) = (1 - λ) (0 + (3 - λ) (λ^{2} - 2 λ)) + 0 + 0 - 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 0 & 1 & 1 - λ \\ 1 & 0 & 0 \end{array} |$

Étape 5.4.5.1.2

Additionnez $0$ et $(3 - λ) (λ^{2} - 2 λ)$ .

$p (λ) = (1 - λ) ((3 - λ) (λ^{2} - 2 λ)) + 0 + 0 - 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 0 & 1 & 1 - λ \\ 1 & 0 & 0 \end{array} |$

Étape 5.4.5.2

Développez $(3 - λ) (λ^{2} - 2 λ)$ à l’aide de la méthode FOIL.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.4.5.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$p (λ) = (1 - λ) (3 (λ^{2} - 2 λ) - λ (λ^{2} - 2 λ)) + 0 + 0 - 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 0 & 1 & 1 - λ \\ 1 & 0 & 0 \end{array} |$

Étape 5.4.5.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$p (λ) = (1 - λ) (3 λ^{2} + 3 (- 2 λ) - λ (λ^{2} - 2 λ)) + 0 + 0 - 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 0 & 1 & 1 - λ \\ 1 & 0 & 0 \end{array} |$

Étape 5.4.5.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$p (λ) = (1 - λ) (3 λ^{2} + 3 (- 2 λ) - λ \cdot λ^{2} - λ (- 2 λ)) + 0 + 0 - 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 0 & 1 & 1 - λ \\ 1 & 0 & 0 \end{array} |$

Étape 5.4.5.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 5.4.5.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.4.5.3.1.1

Multipliez $- 2$ par $3$ .

$p (λ) = (1 - λ) (3 λ^{2} - 6 λ - λ \cdot λ^{2} - λ (- 2 λ)) + 0 + 0 - 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 0 & 1 & 1 - λ \\ 1 & 0 & 0 \end{array} |$

Étape 5.4.5.3.1.2

Multipliez $λ$ par $λ^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.4.5.3.1.2.1

Déplacez $λ^{2}$ .

$p (λ) = (1 - λ) (3 λ^{2} - 6 λ - (λ^{2} λ) - λ (- 2 λ)) + 0 + 0 - 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 0 & 1 & 1 - λ \\ 1 & 0 & 0 \end{array} |$

Étape 5.4.5.3.1.2.2

Multipliez $λ^{2}$ par $λ$ .

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Étape 5.4.5.3.1.2.2.1

Élevez $λ$ à la puissance $1$ .

$p (λ) = (1 - λ) (3 λ^{2} - 6 λ - (λ^{2} λ^{1}) - λ (- 2 λ)) + 0 + 0 - 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 0 & 1 & 1 - λ \\ 1 & 0 & 0 \end{array} |$

Étape 5.4.5.3.1.2.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$p (λ) = (1 - λ) (3 λ^{2} - 6 λ - λ^{2 + 1} - λ (- 2 λ)) + 0 + 0 - 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 0 & 1 & 1 - λ \\ 1 & 0 & 0 \end{array} |$

Étape 5.4.5.3.1.2.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$p (λ) = (1 - λ) (3 λ^{2} - 6 λ - λ^{3} - λ (- 2 λ)) + 0 + 0 - 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 0 & 1 & 1 - λ \\ 1 & 0 & 0 \end{array} |$

Étape 5.4.5.3.1.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$p (λ) = (1 - λ) (3 λ^{2} - 6 λ - λ^{3} - 1 \cdot - 2 λ \cdot λ) + 0 + 0 - 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 0 & 1 & 1 - λ \\ 1 & 0 & 0 \end{array} |$

Étape 5.4.5.3.1.4

Multipliez $λ$ par $λ$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.4.5.3.1.4.1

Déplacez $λ$ .

$p (λ) = (1 - λ) (3 λ^{2} - 6 λ - λ^{3} - 1 \cdot - 2 (λ \cdot λ)) + 0 + 0 - 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 0 & 1 & 1 - λ \\ 1 & 0 & 0 \end{array} |$

Étape 5.4.5.3.1.4.2

Multipliez $λ$ par $λ$ .

$p (λ) = (1 - λ) (3 λ^{2} - 6 λ - λ^{3} - 1 \cdot - 2 λ^{2}) + 0 + 0 - 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 0 & 1 & 1 - λ \\ 1 & 0 & 0 \end{array} |$

Étape 5.4.5.3.1.5

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$p (λ) = (1 - λ) (3 λ^{2} - 6 λ - λ^{3} + 2 λ^{2}) + 0 + 0 - 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 0 & 1 & 1 - λ \\ 1 & 0 & 0 \end{array} |$

Étape 5.4.5.3.2

Additionnez $3 λ^{2}$ et $2 λ^{2}$ .

$p (λ) = (1 - λ) (5 λ^{2} - 6 λ - λ^{3}) + 0 + 0 - 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 0 & 1 & 1 - λ \\ 1 & 0 & 0 \end{array} |$

Étape 5.4.5.4

Déplacez $- 6 λ$ .

$p (λ) = (1 - λ) (5 λ^{2} - λ^{3} - 6 λ) + 0 + 0 - 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 0 & 1 & 1 - λ \\ 1 & 0 & 0 \end{array} |$

Étape 5.4.5.5

Remettez dans l’ordre $5 λ^{2}$ et $- λ^{3}$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 5 λ^{2} - 6 λ) + 0 + 0 - 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 0 & 1 & 1 - λ \\ 1 & 0 & 0 \end{array} |$

Étape 5.5

Évaluez $| \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 0 & 1 & 1 - λ \\ 1 & 0 & 0 \end{array} |$ .

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Étape 5.5.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

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Étape 5.5.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Étape 5.5.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Étape 5.5.1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & 1 - λ \\ 0 & 0 \end{array} |$

Étape 5.5.1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 1 & 1 - λ \\ 0 & 0 \end{array} |$

Étape 5.5.1.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 0 & 1 - λ \\ 1 & 0 \end{array} |$

Étape 5.5.1.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$- (1 - λ) | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ \\ 1 & 0 \end{array} |$

Étape 5.5.1.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array} |$

Étape 5.5.1.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$1 | \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array} |$

Étape 5.5.1.9

Add the terms together.

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 5 λ^{2} - 6 λ) + 0 + 0 - 1 (0 | \begin{array}{c} 1 & 1 - λ \\ 0 & 0 \end{array} | - (1 - λ) | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ \\ 1 & 0 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array} |)$

Étape 5.5.2

Multipliez $0$ par $| \begin{array}{c} 1 & 1 - λ \\ 0 & 0 \end{array} |$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 5 λ^{2} - 6 λ) + 0 + 0 - 1 (0 - (1 - λ) | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ \\ 1 & 0 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array} |)$

Étape 5.5.3

Évaluez $| \begin{array}{c} 0 & 1 - λ \\ 1 & 0 \end{array} |$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.5.3.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 5 λ^{2} - 6 λ) + 0 + 0 - 1 (0 - (1 - λ) (0 \cdot 0 - (1 - λ)) + 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array} |)$

Étape 5.5.3.2

Simplifiez le déterminant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.5.3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.5.3.2.1.1

Multipliez $0$ par $0$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 5 λ^{2} - 6 λ) + 0 + 0 - 1 (0 - (1 - λ) (0 - (1 - λ)) + 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array} |)$

Étape 5.5.3.2.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 5 λ^{2} - 6 λ) + 0 + 0 - 1 (0 - (1 - λ) (0 - 1 \cdot 1 - - λ) + 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array} |)$

Étape 5.5.3.2.1.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 5 λ^{2} - 6 λ) + 0 + 0 - 1 (0 - (1 - λ) (0 - 1 - - λ) + 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array} |)$

Étape 5.5.3.2.1.4

Multipliez $- - λ$ .

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Étape 5.5.3.2.1.4.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 5 λ^{2} - 6 λ) + 0 + 0 - 1 (0 - (1 - λ) (0 - 1 + 1 λ) + 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array} |)$

Étape 5.5.3.2.1.4.2

Multipliez $λ$ par $1$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 5 λ^{2} - 6 λ) + 0 + 0 - 1 (0 - (1 - λ) (0 - 1 + λ) + 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array} |)$

Étape 5.5.3.2.2

Soustrayez $1$ de $0$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 5 λ^{2} - 6 λ) + 0 + 0 - 1 (0 - (1 - λ) (- 1 + λ) + 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array} |)$

Étape 5.5.3.2.3

Remettez dans l’ordre $- 1$ et $λ$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 5 λ^{2} - 6 λ) + 0 + 0 - 1 (0 - (1 - λ) (λ - 1) + 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array} |)$

Étape 5.5.4

Évaluez $| \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array} |$ .

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Étape 5.5.4.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 5 λ^{2} - 6 λ) + 0 + 0 - 1 (0 - (1 - λ) (λ - 1) + 1 (0 \cdot 0 - 1 \cdot 1))$

Étape 5.5.4.2

Simplifiez le déterminant.

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Étape 5.5.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.5.4.2.1.1

Multipliez $0$ par $0$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 5 λ^{2} - 6 λ) + 0 + 0 - 1 (0 - (1 - λ) (λ - 1) + 1 (0 - 1 \cdot 1))$

Étape 5.5.4.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 5 λ^{2} - 6 λ) + 0 + 0 - 1 (0 - (1 - λ) (λ - 1) + 1 (0 - 1))$

Étape 5.5.4.2.2

Soustrayez $1$ de $0$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 5 λ^{2} - 6 λ) + 0 + 0 - 1 (0 - (1 - λ) (λ - 1) + 1 \cdot - 1)$

Étape 5.5.5

Simplifiez le déterminant.

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Étape 5.5.5.1

Soustrayez $(1 - λ) (λ - 1)$ de $0$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 5 λ^{2} - 6 λ) + 0 + 0 - 1 (- (1 - λ) (λ - 1) + 1 \cdot - 1)$

Étape 5.5.5.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.5.5.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 5 λ^{2} - 6 λ) + 0 + 0 - 1 ((- 1 \cdot 1 - - λ) (λ - 1) + 1 \cdot - 1)$

Étape 5.5.5.2.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 5 λ^{2} - 6 λ) + 0 + 0 - 1 ((- 1 - - λ) (λ - 1) + 1 \cdot - 1)$

Étape 5.5.5.2.3

Multipliez $- - λ$ .

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Étape 5.5.5.2.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 5 λ^{2} - 6 λ) + 0 + 0 - 1 ((- 1 + 1 λ) (λ - 1) + 1 \cdot - 1)$

Étape 5.5.5.2.3.2

Multipliez $λ$ par $1$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 5 λ^{2} - 6 λ) + 0 + 0 - 1 ((- 1 + λ) (λ - 1) + 1 \cdot - 1)$

Étape 5.5.5.2.4

Développez $(- 1 + λ) (λ - 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 5.5.5.2.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 5 λ^{2} - 6 λ) + 0 + 0 - 1 (- 1 (λ - 1) + λ (λ - 1) + 1 \cdot - 1)$

Étape 5.5.5.2.4.2

Appliquez la propriété distributive.

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 5 λ^{2} - 6 λ) + 0 + 0 - 1 (- 1 λ - 1 \cdot - 1 + λ (λ - 1) + 1 \cdot - 1)$

Étape 5.5.5.2.4.3

Appliquez la propriété distributive.

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 5 λ^{2} - 6 λ) + 0 + 0 - 1 (- 1 λ - 1 \cdot - 1 + λ \cdot λ + λ \cdot - 1 + 1 \cdot - 1)$

Étape 5.5.5.2.5

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 5.5.5.2.5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.5.5.2.5.1.1

Réécrivez $- 1 λ$ comme $- λ$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 5 λ^{2} - 6 λ) + 0 + 0 - 1 (- λ - 1 \cdot - 1 + λ \cdot λ + λ \cdot - 1 + 1 \cdot - 1)$

Étape 5.5.5.2.5.1.2

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 5 λ^{2} - 6 λ) + 0 + 0 - 1 (- λ + 1 + λ \cdot λ + λ \cdot - 1 + 1 \cdot - 1)$

Étape 5.5.5.2.5.1.3

Multipliez $λ$ par $λ$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 5 λ^{2} - 6 λ) + 0 + 0 - 1 (- λ + 1 + λ^{2} + λ \cdot - 1 + 1 \cdot - 1)$

Étape 5.5.5.2.5.1.4

Déplacez $- 1$ à gauche de $λ$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 5 λ^{2} - 6 λ) + 0 + 0 - 1 (- λ + 1 + λ^{2} - 1 \cdot λ + 1 \cdot - 1)$

Étape 5.5.5.2.5.1.5

Réécrivez $- 1 λ$ comme $- λ$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 5 λ^{2} - 6 λ) + 0 + 0 - 1 (- λ + 1 + λ^{2} - λ + 1 \cdot - 1)$

Étape 5.5.5.2.5.2

Soustrayez $λ$ de $- λ$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 5 λ^{2} - 6 λ) + 0 + 0 - 1 (- 2 λ + 1 + λ^{2} + 1 \cdot - 1)$

Étape 5.5.5.2.6

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 5 λ^{2} - 6 λ) + 0 + 0 - 1 (- 2 λ + 1 + λ^{2} - 1)$

Étape 5.5.5.3

Associez les termes opposés dans $- 2 λ + 1 + λ^{2} - 1$ .

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Étape 5.5.5.3.1

Soustrayez $1$ de $1$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 5 λ^{2} - 6 λ) + 0 + 0 - 1 (- 2 λ + λ^{2} + 0)$

Étape 5.5.5.3.2

Additionnez $- 2 λ + λ^{2}$ et $0$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 5 λ^{2} - 6 λ) + 0 + 0 - 1 (- 2 λ + λ^{2})$

Étape 5.5.5.4

Remettez dans l’ordre $- 2 λ$ et $λ^{2}$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 5 λ^{2} - 6 λ) + 0 + 0 - 1 (λ^{2} - 2 λ)$

Étape 5.6

Simplifiez le déterminant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.6.1

Associez les termes opposés dans $(1 - λ) (- λ^{3} + 5 λ^{2} - 6 λ) + 0 + 0 - 1 (λ^{2} - 2 λ)$ .

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Étape 5.6.1.1

Additionnez $(1 - λ) (- λ^{3} + 5 λ^{2} - 6 λ)$ et $0$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 5 λ^{2} - 6 λ) + 0 - 1 (λ^{2} - 2 λ)$

Étape 5.6.1.2

Additionnez $(1 - λ) (- λ^{3} + 5 λ^{2} - 6 λ)$ et $0$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 5 λ^{2} - 6 λ) - 1 (λ^{2} - 2 λ)$

Étape 5.6.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.6.2.1

Développez $(1 - λ) (- λ^{3} + 5 λ^{2} - 6 λ)$ en multipliant chaque terme dans la première expression par chaque terme dans la deuxième expression.

$p (λ) = 1 (- λ^{3}) + 1 (5 λ^{2}) + 1 (- 6 λ) - λ (- λ^{3}) - λ (5 λ^{2}) - λ (- 6 λ) - 1 (λ^{2} - 2 λ)$

Étape 5.6.2.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.6.2.2.1

Multipliez $- λ^{3}$ par $1$ .

$p (λ) = - λ^{3} + 1 (5 λ^{2}) + 1 (- 6 λ) - λ (- λ^{3}) - λ (5 λ^{2}) - λ (- 6 λ) - 1 (λ^{2} - 2 λ)$

Étape 5.6.2.2.2

Multipliez $5 λ^{2}$ par $1$ .

$p (λ) = - λ^{3} + 5 λ^{2} + 1 (- 6 λ) - λ (- λ^{3}) - λ (5 λ^{2}) - λ (- 6 λ) - 1 (λ^{2} - 2 λ)$

Étape 5.6.2.2.3

Multipliez $- 6 λ$ par $1$ .

$p (λ) = - λ^{3} + 5 λ^{2} - 6 λ - λ (- λ^{3}) - λ (5 λ^{2}) - λ (- 6 λ) - 1 (λ^{2} - 2 λ)$

Étape 5.6.2.2.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$p (λ) = - λ^{3} + 5 λ^{2} - 6 λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ^{3} - λ (5 λ^{2}) - λ (- 6 λ) - 1 (λ^{2} - 2 λ)$

Étape 5.6.2.2.5

Multipliez $λ$ par $λ^{3}$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.6.2.2.5.1

Déplacez $λ^{3}$ .

$p (λ) = - λ^{3} + 5 λ^{2} - 6 λ - 1 \cdot - 1 (λ^{3} λ) - λ (5 λ^{2}) - λ (- 6 λ) - 1 (λ^{2} - 2 λ)$

Étape 5.6.2.2.5.2

Multipliez $λ^{3}$ par $λ$ .

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Étape 5.6.2.2.5.2.1

Élevez $λ$ à la puissance $1$ .

$p (λ) = - λ^{3} + 5 λ^{2} - 6 λ - 1 \cdot - 1 (λ^{3} λ^{1}) - λ (5 λ^{2}) - λ (- 6 λ) - 1 (λ^{2} - 2 λ)$

Étape 5.6.2.2.5.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$p (λ) = - λ^{3} + 5 λ^{2} - 6 λ - 1 \cdot - 1 λ^{3 + 1} - λ (5 λ^{2}) - λ (- 6 λ) - 1 (λ^{2} - 2 λ)$

Étape 5.6.2.2.5.3

Additionnez $3$ et $1$ .

$p (λ) = - λ^{3} + 5 λ^{2} - 6 λ - 1 \cdot - 1 λ^{4} - λ (5 λ^{2}) - λ (- 6 λ) - 1 (λ^{2} - 2 λ)$

Étape 5.6.2.2.6

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$p (λ) = - λ^{3} + 5 λ^{2} - 6 λ + 1 λ^{4} - λ (5 λ^{2}) - λ (- 6 λ) - 1 (λ^{2} - 2 λ)$

Étape 5.6.2.2.7

Multipliez $λ^{4}$ par $1$ .

$p (λ) = - λ^{3} + 5 λ^{2} - 6 λ + λ^{4} - λ (5 λ^{2}) - λ (- 6 λ) - 1 (λ^{2} - 2 λ)$

Étape 5.6.2.2.8

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$p (λ) = - λ^{3} + 5 λ^{2} - 6 λ + λ^{4} - 1 \cdot 5 λ \cdot λ^{2} - λ (- 6 λ) - 1 (λ^{2} - 2 λ)$

Étape 5.6.2.2.9

Multipliez $λ$ par $λ^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.6.2.2.9.1

Déplacez $λ^{2}$ .

$p (λ) = - λ^{3} + 5 λ^{2} - 6 λ + λ^{4} - 1 \cdot 5 (λ^{2} λ) - λ (- 6 λ) - 1 (λ^{2} - 2 λ)$

Étape 5.6.2.2.9.2

Multipliez $λ^{2}$ par $λ$ .

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Étape 5.6.2.2.9.2.1

Élevez $λ$ à la puissance $1$ .

$p (λ) = - λ^{3} + 5 λ^{2} - 6 λ + λ^{4} - 1 \cdot 5 (λ^{2} λ^{1}) - λ (- 6 λ) - 1 (λ^{2} - 2 λ)$

Étape 5.6.2.2.9.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$p (λ) = - λ^{3} + 5 λ^{2} - 6 λ + λ^{4} - 1 \cdot 5 λ^{2 + 1} - λ (- 6 λ) - 1 (λ^{2} - 2 λ)$

Étape 5.6.2.2.9.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$p (λ) = - λ^{3} + 5 λ^{2} - 6 λ + λ^{4} - 1 \cdot 5 λ^{3} - λ (- 6 λ) - 1 (λ^{2} - 2 λ)$

Étape 5.6.2.2.10

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$p (λ) = - λ^{3} + 5 λ^{2} - 6 λ + λ^{4} - 5 λ^{3} - λ (- 6 λ) - 1 (λ^{2} - 2 λ)$

Étape 5.6.2.2.11

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$p (λ) = - λ^{3} + 5 λ^{2} - 6 λ + λ^{4} - 5 λ^{3} - 1 \cdot - 6 λ \cdot λ - 1 (λ^{2} - 2 λ)$

Étape 5.6.2.2.12

Multipliez $λ$ par $λ$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.6.2.2.12.1

Déplacez $λ$ .

$p (λ) = - λ^{3} + 5 λ^{2} - 6 λ + λ^{4} - 5 λ^{3} - 1 \cdot - 6 (λ \cdot λ) - 1 (λ^{2} - 2 λ)$

Étape 5.6.2.2.12.2

Multipliez $λ$ par $λ$ .

$p (λ) = - λ^{3} + 5 λ^{2} - 6 λ + λ^{4} - 5 λ^{3} - 1 \cdot - 6 λ^{2} - 1 (λ^{2} - 2 λ)$

Étape 5.6.2.2.13

Multipliez $- 1$ par $- 6$ .

$p (λ) = - λ^{3} + 5 λ^{2} - 6 λ + λ^{4} - 5 λ^{3} + 6 λ^{2} - 1 (λ^{2} - 2 λ)$

Étape 5.6.2.3

Soustrayez $5 λ^{3}$ de $- λ^{3}$ .

$p (λ) = - 6 λ^{3} + 5 λ^{2} - 6 λ + λ^{4} + 6 λ^{2} - 1 (λ^{2} - 2 λ)$

Étape 5.6.2.4

Additionnez $5 λ^{2}$ et $6 λ^{2}$ .

$p (λ) = - 6 λ^{3} + 11 λ^{2} - 6 λ + λ^{4} - 1 (λ^{2} - 2 λ)$

Étape 5.6.2.5

Appliquez la propriété distributive.

$p (λ) = - 6 λ^{3} + 11 λ^{2} - 6 λ + λ^{4} - 1 λ^{2} - 1 (- 2 λ)$

Étape 5.6.2.6

Réécrivez $- 1 λ^{2}$ comme $- λ^{2}$ .

$p (λ) = - 6 λ^{3} + 11 λ^{2} - 6 λ + λ^{4} - λ^{2} - 1 (- 2 λ)$

Étape 5.6.2.7

Multipliez $- 2$ par $- 1$ .

$p (λ) = - 6 λ^{3} + 11 λ^{2} - 6 λ + λ^{4} - λ^{2} + 2 λ$

Étape 5.6.3

Soustrayez $λ^{2}$ de $11 λ^{2}$ .

$p (λ) = - 6 λ^{3} + 10 λ^{2} - 6 λ + λ^{4} + 2 λ$

Étape 5.6.4

Additionnez $- 6 λ$ et $2 λ$ .

$p (λ) = - 6 λ^{3} + 10 λ^{2} + λ^{4} - 4 λ$

Étape 5.6.5

Déplacez $10 λ^{2}$ .

$p (λ) = - 6 λ^{3} + λ^{4} + 10 λ^{2} - 4 λ$

Étape 5.6.6

Remettez dans l’ordre $- 6 λ^{3}$ et $λ^{4}$ .

$p (λ) = λ^{4} - 6 λ^{3} + 10 λ^{2} - 4 λ$

Étape 6

Définissez le polynôme caractéristique égal à $0$ pour déterminer les valeurs propres $λ$ .

$λ^{4} - 6 λ^{3} + 10 λ^{2} - 4 λ = 0$

Étape 7

Résolvez $λ$ .

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Étape 7.1

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 7.1.1

Factorisez $λ$ à partir de $λ^{4} - 6 λ^{3} + 10 λ^{2} - 4 λ$ .

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Étape 7.1.1.1

Factorisez $λ$ à partir de $λ^{4}$ .

$λ \cdot λ^{3} - 6 λ^{3} + 10 λ^{2} - 4 λ = 0$

Étape 7.1.1.2

Factorisez $λ$ à partir de $- 6 λ^{3}$ .

$λ \cdot λ^{3} + λ (- 6 λ^{2}) + 10 λ^{2} - 4 λ = 0$

Étape 7.1.1.3

Factorisez $λ$ à partir de $10 λ^{2}$ .

$λ \cdot λ^{3} + λ (- 6 λ^{2}) + λ (10 λ) - 4 λ = 0$

Étape 7.1.1.4

Factorisez $λ$ à partir de $- 4 λ$ .

$λ \cdot λ^{3} + λ (- 6 λ^{2}) + λ (10 λ) + λ \cdot - 4 = 0$

Étape 7.1.1.5

Factorisez $λ$ à partir de $λ \cdot λ^{3} + λ (- 6 λ^{2})$ .

$λ (λ^{3} - 6 λ^{2}) + λ (10 λ) + λ \cdot - 4 = 0$

Étape 7.1.1.6

Factorisez $λ$ à partir de $λ (λ^{3} - 6 λ^{2}) + λ (10 λ)$ .

$λ (λ^{3} - 6 λ^{2} + 10 λ) + λ \cdot - 4 = 0$

Étape 7.1.1.7

Factorisez $λ$ à partir de $λ (λ^{3} - 6 λ^{2} + 10 λ) + λ \cdot - 4$ .

$λ (λ^{3} - 6 λ^{2} + 10 λ - 4) = 0$

Étape 7.1.2

Factorisez.

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Étape 7.1.2.1

Factorisez $λ^{3} - 6 λ^{2} + 10 λ - 4$ en utilisant le test des racines rationnelles.

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Étape 7.1.2.1.1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme $\frac{p}{q}$ où $p$ est un facteur de la constante et $q$ est un facteur du coefficient directeur.

$p = \pm 1, \pm 4, \pm 2$

$q = \pm 1$

Étape 7.1.2.1.2

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

$\pm 1, \pm 4, \pm 2$

Étape 7.1.2.1.3

Remplacez $2$ et simplifiez l’expression. Dans ce cas, l’expression est égale à $0$ donc $2$ est une racine du polynôme.

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Étape 7.1.2.1.3.1

Remplacez $2$ dans le polynôme.

$2^{3} - 6 \cdot 2^{2} + 10 \cdot 2 - 4$

Étape 7.1.2.1.3.2

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$8 - 6 \cdot 2^{2} + 10 \cdot 2 - 4$

Étape 7.1.2.1.3.3

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$8 - 6 \cdot 4 + 10 \cdot 2 - 4$

Étape 7.1.2.1.3.4

Multipliez $- 6$ par $4$ .

$8 - 24 + 10 \cdot 2 - 4$

Étape 7.1.2.1.3.5

Soustrayez $24$ de $8$ .

$- 16 + 10 \cdot 2 - 4$

Étape 7.1.2.1.3.6

Multipliez $10$ par $2$ .

$- 16 + 20 - 4$

Étape 7.1.2.1.3.7

Additionnez $- 16$ et $20$ .

$4 - 4$

Étape 7.1.2.1.3.8

Soustrayez $4$ de $4$ .

$0$

Étape 7.1.2.1.4

Comme $2$ est une racine connue, divisez le polynôme par $λ - 2$ pour déterminer le polynôme quotient. Ce polynôme peut alors être utilisé pour déterminer les racines restantes.

$\frac{λ^{3} - 6 λ^{2} + 10 λ - 4}{λ - 2}$

Étape 7.1.2.1.5

Divisez $λ^{3} - 6 λ^{2} + 10 λ - 4$ par $λ - 2$ .

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Étape 7.1.2.1.5.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$λ$

$2$

$λ^{3}$

$6 λ^{2}$

$10 λ$

$4$

Étape 7.1.2.1.5.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $λ^{3}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $λ$ .

					$λ^{2}$
	$λ$	-	$2$		$λ^{3}$	-	$6 λ^{2}$	+	$10 λ$	-	$4$

Étape 7.1.2.1.5.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$λ^{2}$
$λ$	-	$2$		$λ^{3}$	-	$6 λ^{2}$	+	$10 λ$	-	$4$
			+	$λ^{3}$	-	$2 λ^{2}$

Étape 7.1.2.1.5.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $λ^{3} - 2 λ^{2}$

				$λ^{2}$
$λ$	-	$2$		$λ^{3}$	-	$6 λ^{2}$	+	$10 λ$	-	$4$
			-	$λ^{3}$	+	$2 λ^{2}$

Étape 7.1.2.1.5.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$λ^{2}$
$λ$	-	$2$		$λ^{3}$	-	$6 λ^{2}$	+	$10 λ$	-	$4$
			-	$λ^{3}$	+	$2 λ^{2}$
					-	$4 λ^{2}$

Étape 7.1.2.1.5.6

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$λ^{2}$
$λ$	-	$2$		$λ^{3}$	-	$6 λ^{2}$	+	$10 λ$	-	$4$
			-	$λ^{3}$	+	$2 λ^{2}$
					-	$4 λ^{2}$	+	$10 λ$

Étape 7.1.2.1.5.7

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- 4 λ^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $λ$ .

				$λ^{2}$	-	$4 λ$
$λ$	-	$2$		$λ^{3}$	-	$6 λ^{2}$	+	$10 λ$	-	$4$
			-	$λ^{3}$	+	$2 λ^{2}$
					-	$4 λ^{2}$	+	$10 λ$

Étape 7.1.2.1.5.8

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$λ^{2}$	-	$4 λ$
$λ$	-	$2$		$λ^{3}$	-	$6 λ^{2}$	+	$10 λ$	-	$4$
			-	$λ^{3}$	+	$2 λ^{2}$
					-	$4 λ^{2}$	+	$10 λ$
					-	$4 λ^{2}$	+	$8 λ$

Étape 7.1.2.1.5.9

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- 4 λ^{2} + 8 λ$

				$λ^{2}$	-	$4 λ$
$λ$	-	$2$		$λ^{3}$	-	$6 λ^{2}$	+	$10 λ$	-	$4$
			-	$λ^{3}$	+	$2 λ^{2}$
					-	$4 λ^{2}$	+	$10 λ$
					+	$4 λ^{2}$	-	$8 λ$

Étape 7.1.2.1.5.10

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$λ^{2}$	-	$4 λ$
$λ$	-	$2$		$λ^{3}$	-	$6 λ^{2}$	+	$10 λ$	-	$4$
			-	$λ^{3}$	+	$2 λ^{2}$
					-	$4 λ^{2}$	+	$10 λ$
					+	$4 λ^{2}$	-	$8 λ$
							+	$2 λ$

Étape 7.1.2.1.5.11

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$λ^{2}$	-	$4 λ$
$λ$	-	$2$		$λ^{3}$	-	$6 λ^{2}$	+	$10 λ$	-	$4$
			-	$λ^{3}$	+	$2 λ^{2}$
					-	$4 λ^{2}$	+	$10 λ$
					+	$4 λ^{2}$	-	$8 λ$
							+	$2 λ$	-	$4$

Étape 7.1.2.1.5.12

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $2 λ$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $λ$ .

				$λ^{2}$	-	$4 λ$	+	$2$
$λ$	-	$2$		$λ^{3}$	-	$6 λ^{2}$	+	$10 λ$	-	$4$
			-	$λ^{3}$	+	$2 λ^{2}$
					-	$4 λ^{2}$	+	$10 λ$
					+	$4 λ^{2}$	-	$8 λ$
							+	$2 λ$	-	$4$

Étape 7.1.2.1.5.13

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$λ^{2}$	-	$4 λ$	+	$2$
$λ$	-	$2$		$λ^{3}$	-	$6 λ^{2}$	+	$10 λ$	-	$4$
			-	$λ^{3}$	+	$2 λ^{2}$
					-	$4 λ^{2}$	+	$10 λ$
					+	$4 λ^{2}$	-	$8 λ$
							+	$2 λ$	-	$4$
							+	$2 λ$	-	$4$

Étape 7.1.2.1.5.14

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $2 λ - 4$

				$λ^{2}$	-	$4 λ$	+	$2$
$λ$	-	$2$		$λ^{3}$	-	$6 λ^{2}$	+	$10 λ$	-	$4$
			-	$λ^{3}$	+	$2 λ^{2}$
					-	$4 λ^{2}$	+	$10 λ$
					+	$4 λ^{2}$	-	$8 λ$
							+	$2 λ$	-	$4$
							-	$2 λ$	+	$4$

Étape 7.1.2.1.5.15

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$λ^{2}$	-	$4 λ$	+	$2$
$λ$	-	$2$		$λ^{3}$	-	$6 λ^{2}$	+	$10 λ$	-	$4$
			-	$λ^{3}$	+	$2 λ^{2}$
					-	$4 λ^{2}$	+	$10 λ$
					+	$4 λ^{2}$	-	$8 λ$
							+	$2 λ$	-	$4$
							-	$2 λ$	+	$4$
										$0$

Étape 7.1.2.1.5.16

Comme le reste est $0$ , la réponse finale est le quotient.

$λ^{2} - 4 λ + 2$

Étape 7.1.2.1.6

Écrivez $λ^{3} - 6 λ^{2} + 10 λ - 4$ comme un ensemble de facteurs.

$λ ((λ - 2) (λ^{2} - 4 λ + 2)) = 0$

Étape 7.1.2.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$λ (λ - 2) (λ^{2} - 4 λ + 2) = 0$

Étape 7.2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$λ = 0$

$λ - 2 = 0$

$λ^{2} - 4 λ + 2 = 0$

Étape 7.3

Définissez $λ$ égal à $0$ .

$λ = 0$

Étape 7.4

Définissez $λ - 2$ égal à $0$ et résolvez $λ$ .

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Étape 7.4.1

Définissez $λ - 2$ égal à $0$ .

$λ - 2 = 0$

Étape 7.4.2

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$λ = 2$

Étape 7.5

Définissez $λ^{2} - 4 λ + 2$ égal à $0$ et résolvez $λ$ .

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Étape 7.5.1

Définissez $λ^{2} - 4 λ + 2$ égal à $0$ .

$λ^{2} - 4 λ + 2 = 0$

Étape 7.5.2

Résolvez $λ^{2} - 4 λ + 2 = 0$ pour $λ$ .

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Étape 7.5.2.1

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 7.5.2.2

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = - 4$ et $c = 2$ dans la formule quadratique et résolvez pour $λ$ .

$\frac{4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 2)}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.5.2.3

Simplifiez

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Étape 7.5.2.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.5.2.3.1.1

Élevez $- 4$ à la puissance $2$ .

$λ = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.5.2.3.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 2$ .

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Étape 7.5.2.3.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$λ = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.5.2.3.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $2$ .

$λ = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 8}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.5.2.3.1.3

Soustrayez $8$ de $16$ .

$λ = \frac{4 \pm \sqrt{8}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.5.2.3.1.4

Réécrivez $8$ comme $2^{2} \cdot 2$ .

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Étape 7.5.2.3.1.4.1

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$λ = \frac{4 \pm \sqrt{4 (2)}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.5.2.3.1.4.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$λ = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.5.2.3.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$λ = \frac{4 \pm 2 \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.5.2.3.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$λ = \frac{4 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$

Étape 7.5.2.3.3

Simplifiez $\frac{4 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$ .

$λ = 2 \pm \sqrt{2}$

Étape 7.5.2.4

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$λ = 2 + \sqrt{2}, 2 - \sqrt{2}$

Étape 7.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $λ (λ - 2) (λ^{2} - 4 λ + 2) = 0$ vraie.

$λ = 0, 2, 2 + \sqrt{2}, 2 - \sqrt{2}$

Étape 8

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$λ = 0, 2, 2 + \sqrt{2}, 2 - \sqrt{2}$

Forme décimale :

$λ = 0, 2, 3.41421356 \dots, 0.58578643 \dots$